[Equações diofantinas não-lineares]
Encontre todas as soluções inteiras não-negativas da equação
[tex]x^y-y=y^x+x[/tex]
Gentileza justificar por que não podem existir outras soluções além das que você encontrou.
Resposta:
Para começar, podemos observar que a equação só terá soluções inteiras não-negativas se x e y forem inteiros não-negativos. Além disso, podemos observar que a equação é simétrica em x e y, ou seja, trocando x por y e y por x, a equação se mantém válida. Isso significa que se encontrarmos uma solução (x,y), teremos outra solução (y,x).
Com essas observações em mente, podemos tentar encontrar soluções da equação. Quando x=0, y=0 é uma solução. Quando y=0, x=0 é uma solução. Quando x=1, y=1 é uma solução. E quando y=1, x=1 é uma solução. Portanto, as únicas soluções da equação são (0,0), (1,1).
Como já mencionado, a equação é simétrica em x e y, portanto não existem outras soluções além dessas duas. Isso pode ser comprovado pelo fato de que, para qualquer outra escolha de x e y, a equação não será verdadeira. Portanto, podemos concluir que as únicas soluções inteiras não-negativas da equação são (0,0) e (1,1).
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